Reale Bayes'sche Netze können ziemlich groß werden, daher hier nur ein paar Simpel-Beispiele um wesentliche Effekte zu zeigen.

---

---

Sehr anschaulich darstellen lässt sich das bayes'sche Schließen am einfachen Beispiel einer Krankheit "X", zu deren Diagnose ein Test existiert. Dabei ist das Testergebnis kausal davon abhängig ob die Krankheit vorliegt oder nicht (sicher nicht umgekehrt).

1. Die Krankheit ist sehr selten: nur ein Mensch von 100000 hat sie (siehe a-priori-Wahrscheinlichkeit im Knoten Krankheit_X in Bild 1). 
2. Wenn ein Patient die Krankheit hat, dann fällt der Test in 99.9% der Fälle positiv aus - in 0.1% der Fälle dagegen fälschlicher Weise negativ (Missing) (siehe Test gegeben Krankheit_X=ja in Bild 2).
3. Wenn ein Patient die Krankheit nicht hat, dann ist das Testergebnis in 99.5% der Fälle negativ, in 0.5% der Fälle gibt es einen "Falschalarm" (false alarm) (Krankheit_X=nein,  Bild 3)

Diese Wahrscheinlichkeiten sind zur Definition dieses BN anzugeben (siehe bedingte Wahrscheinlichkeitstafeln in Bild 1). Sie können sowohl aus Daten als auch durch Expertenwissen bestimmt werden.

---

---

Interessanter sowohl für dieses Beispiel als auch in "Real-Life" ist nun umgekehrt vom Ausgang des Tests auf die Erkrankung zu schließen.

1. Wenn der Test negativ ausfällt, dann ist die Wahrscheinlichkeit trotzdem die Krankheit zu haben mit 0.000001% extrem klein (Bild 4)
2. Wenn der Test anschlägt, dann ist liegt die Wahrscheinlichkeit tatsächlich an "X" erkrankt zu sein trotzdem nur bei 0.2% (Bild 5)

Obwohl die eingebrachte Information intuitiv verständlich ist verblüfft dieses Ergebnis die meisten Menschen zunächst - scheint der Test doch auf den ersten Blick eine ziemlich sichere Aussage zu treffen. Das "Geheimnis" liegt hier natürlich in der Seltenheit der Krankheit. 
Um die Ergebnisse dieses Modells nachzurechnen reicht die Bayes'sche Formel:
 

Erst recht bei komplizierteren Zusammenhängen (reale BN's z.B. im medizinischen Bereich haben z.T. hunderte von Merkmalen) rechtfertigt sich die Anwendung von BN's, die zum einen ihr "Wissen" intuitiv verständlich in der Form eines Graphen (globales Wissen) und zum anderen durch bedingte Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von den direkten Ursachen (lokales Wissen) repräsentieren. Damit sind BN's kein Black-Box-Verfahren, sondern ermöglichen die Kombination von Expertenwissen und Datenauswertungen (Lernverfahren).

---

---

Das Rechnen in Wahrscheinlichkeiten gewährleistet die innere Konsistenz der Verfahren. Sehr gut abgebildet wird z.B. der Explaining-Away-Effekt. Im obigen Beispiel führt die Beobachtung, dass die Straße nass ist zunächst dazu dass beide Ursachen Regen und Wasserrohrbruch an Wahrscheinlichkeit zunehmen (vgl. Bild 6 und 7). Im zweiten Schritt wird aber zusätzlich bekannt, dass es  tatsächlich einen Wasserrohrbruch gegeben hat, wodurch die Wahrscheinlichkeit für Regen annähernd wieder auf die A-Priori-Wahrscheinlichkeit von 20% sinkt (Bild 8).

---

---

Ein Problem in der Modellierung von BN's ist die Kausalitätsannahme, die nicht immer zutreffend ist. Es müsste auch ungerichtete Verbindungen geben, die keine Ursache-Wirkung-Beziehung darstellen. Dies ist nur mit einem kleinen Trick zu realisieren:
Zwei Knoten A und B, die in einer solchen ungerichteten Beziehung stehen erhalten einen gemeinsamen Kindknoten. Dieser hat zwei Zustände, hier plausibel und unplausibel genannt. Alle plausiblen / unplausiblen Zustandskombinationen der Knoten A und B sprechen für den jeweiligen Zustand des Verbindungsknoten. Im gezeigten Beispiel wurden z.B. die Kombinationen a1,b1 und a2,b2 als plausibel angenommen während a1,b2 und a2,b1 unplausibel sind.
Der Verbindungsknoten wird immer als Verbindung=plausibel instanziiert, so dass damit die gewünschte Abhängigkeit zwischen A und B hergestellt ist

---

---

Neben Beobachtungen der Art, dass ein einziger Zustand eines Merkmals mit Sicherheit bekannt ist (hard Evidence), kann es auch unsichere Information (soft Evidence) geben.

• Diese kann z.B. bei einem Merkmal mit mehr als zwei Zuständen einen oder mehrere mit Sicherheit ausschließen, wobei aber noch mehr als ein Zustand möglich bleibt, oder
• es kann ein subjektiver Glauben ausgedrückt werden, dass ein Zustand eher anzunehmen ist als ein anderer.

Sowohl harte Evidenz als auch die beiden Formen weicher Evidenz können mittels eines Finding-Vektors ausgedrückt werden, der für jeden Zustand des betrachteten Merkmals einen Wert enthält:

• Eine "0" schließt den Zustand mit Sicherheit aus
• Werte >0 geben in Relation zueinander die Stärke des subjektiven Glaubens an (Bild 10). 
• Für harte Evidenz und wenn nur Zustände ausgeschlossen werden sollen enthält der Finding-Vektor nur die Werte "0" und "1".

Eine konkrete Soft Evidence kann auch als ein zusätzlicher Kind-Knoten modelliert werden, der dann hart instanziiert wird. Dieses ist in Bild 11 für die in Bild 10 gezeigte soft Evidence bezüglich Knoten B dargestellt. Der Knoten SoftEvid wird mit SoftEvid=x instanziiert. Die Werte der Spalte für SoftEvid=x der CPT von SoftEvid stehen in dem selben Verhältnis wie die Werte des Finding-Vektors in Bild 10 (4 : 2 : 1 =  0.8 : 0.4 : 0.2). Dies soll aber weniger als Alternative zur Verwendung von Soft Evidence verstanden werden, sondern dient vielmehr der formalen Beschreibung dessen was Soft Evidence eigentlich ist. So wird damit insbesondere klar, wie sich Soft Evidence in Bezug auf die d-separtion/d-connection von Merkmalen auswirkt: 

• serielle und divergierende Verbindungen werden nicht d-separiert, 
• konvergierende Verbindungen jedoch d-connected.

---

12)

---

Ein nettes Beispiel, über das (angeblich) selbst Mathe-Profs miteinander in die Wolle geraten sind ist dieses: Ein Kandidat hat die Wahl zwischen drei verschlossenen Toren. Hinter einem verbirgt sich ein Preis, hinter den andern beiden sind Nieten ("Zonks"). Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat öffnet der Quizmaster eines der beiden anderen Tore und zwar eines hinter dem sich der Preis nicht befindet (der Quizmaster weiß also wo der Preis ist). Nun erhält der Kandidat noch einmal die Chance sich umzuentscheiden also das andere noch nicht geöffnete Tor zu nehmen. Die Frage lautet nun: Ist es sinnvoller die erste Entscheidung zu ändern oder sie beizubehalten? Bild 12 zeigt das BN zu dieser Fragestellung. Die CPT für den Knoten (welches Tor öffnet der) Quizmaster ist dargestellt. Die anderen beiden CPT's enthalten die A-Priori-Wahrscheinlichkeiten für die Wahl (des Kandidaten) und (wo ist der) Preis. Diese liegen jeweils bei 1/3 für jedes Tor. Hier ist das Ergebnis gezeigt, wenn der Kandidat zunächst Tor1 wählt und der Quizmaster dann Tor2 öffnet. Es zeigt sich, dass es sinnvoll ist zu wechseln, da die Wahrscheinlichkeit dass sich der Preis hinter Tor3 befindet nun bei 2/3 zu 1/3 für Tor1 liegt. Alle übrigen möglichen Fälle liefern dasselbe Resultat: Man verdoppelt die Gewinnchanchen, wenn man immer die erste Wahl ändert. Das Beispiel zeigt nochmals wie ein Ergebnis auf das nicht jeder ohne Weiteres kommt mit Hilfe eines BN's berechnet werden kann, das wohl (fast) jeder hätte aufstellen können.